连续系统TransferFuctionModel分析方法程序设计
[摘要] 采用Mathematica软件的传递函数模型分析方法，讨论低阶连续系统的分析方法，并编写了通用的低阶连续系统解析解求解程序，以实例展示程序的用法和程序分析的高效率。
[关键词] 连续系统;传输函数模型;拉普拉斯变换;Mathematica
Continuous analysis of program design system TransferFuctionModel
Abstract :The transfer function model using Mathematica software, analysis, discussion and analysis methods of continuous low-level system, and the preparation of a common system of continuous low-level analytical solution solver, with examples showing the use of program analysis and program efficiency.
Keywords : continuous system;transfer function model;Laplace transform;Mathematica
目录
引言 1
1用Simulink求解连续系统的思路 1
1.1用 Matlab的Simulink求解连续系统方法 1
1.2用 Matlab的Simulink求解连续系统的步骤 1
1.3 Simulink方法分析求解连续系统的特点 1
1.4适用的范围 2
2 Mathematica的TransferFunctionModel分析方法求解连续LTI
系统的思路 2
2.1用Mathematica求解LTI连续系统的方法有两种 2
2.2用Mathematica的TransferFunctionModel分析方法求解连续 LTI系统的思路 2
2.3 TransferFunctionModel分析方法的特点 2
3系统0输入响应计算和0状态响应的计算思路 3
3.1低阶系统计算思路 3
3.2高阶系统计算思路 3
4用 Mathematica的TransferFunctionModel分析方法求解连续 LTI系统程序设计思路 4
4.1求解连续LTI系统的设计思路 4
4.2二阶系统的求解程序 4
5 程序应用实例 5
5.1程序应用实例一 5
5.2程序应用实例二 7
6结语 9
致谢 10
参考文献 11
附录1 12
附录2 12
引言
系统是由若干个相互联系、相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体。LTI系统的分析具有非常重要的意义，一方面是由于在实际应用中经常遇到LTI系统，并且有一些非线性系统或时变系统在限定范围与指定条件下都遵从线性时不变特性的规律；另一方面是LTI系统的分析方法已经形成了严密的、完整的体系，日趋完善和成熟[1,2]。但是所有的连续系统要进行分析首先要建立微分方程[2]，所有的离散系统要进行分析需要先建立差分方程，无论是连续系统的微分方程或微分方程组还是离散系统的差分方程或差分方程组要进行求解，都会遇到很多困难。特别是当系统比较复杂时，微分方程的阶数和差分方程的阶数比较高或者微分方程的个数和差分方程的个数比较多的时候，这个方程时域里面求解，是非常具有挑战性的。但是我们可以在Mathematica中用传递函数[3]或传递函数模型这种方法来求解系统。这种方法比较方便,因为不是在时域里求解。连续系统是在复频域里面进行分析[4]，离散系统是在Z域里面进行分析，那么在复频域里面或在Z域里面描述系统的方程将转化成简单的代数方程或代数方程组，转换后不会在出现微分方程和差分方程，这就是把人工需要解决的复杂问题转交给了计算机系统来做。计算机在后台来解方程，这样就会很方便的完成任务。
所有的电子研发都需要研究系统，都需要求解系统，然而设计的系统合理不合理，对给定的信号有没有加工处理的功能，那就需要我们设计出系统来，给定参数后把解求出来，看一看，是否符合用户的要求，不符合用户的要求就需要改变系统的结构或在系统结构不变的情况下，改变系统的参数的取值，然后再进行求解系统，直到满足用户要求为止。这个研发的过程需要反复进行，所以工作量非常大，手工求解是不太容易的，直接在时域里面编程求解也很困难，所以需要用传递函数或传递函数模型[4,5]这种方法来求解系统。
Mathematica软件，它的功能包括三个方面：数值计算、图形和符号演算；它是一个交互式的计算系统，在于用户相互传递、交换信息数据的过程中完成各种计算；它也是个很容易扩充的系统，除了为用户提供大量的系统函数和数学函数之外，还有一套功能特别强大的程序设计语言，使用这种语言，用户可以方便的定义自己的函数、编制自己的程序，以实现各种功能，完成各种复杂的工作[6]。它还可以从实际系统制作出来之前，预先对系统进行仿真分析，对系统进行适当的实时修正或者按照仿真的最佳效果来调试及制定控制系统的参数，来提高系统的性能，减少设计系统过程中反复修改的时间，实现效率地开发系统的目标。
1用Simulink求解连续系统的思路
1.1用 Matlab的Simulink求解连续系统方法
Matlab的Simulink求解连续系统的方法有三类：
（1）离散模块建模的方法；
（2）传递函数的方法；
（3）状态空间的方法。
1.2用 Matlab的Simulink求解连续系统的步骤
（1）离散模块建模的方法：先写出系统的微分方程，然后把系统的微分方程转化为框图，再把框图用Simulink里面的分立元件模块组装起来；
（2）传递函数的方法：把微分方程写出来，直接映射到复频域求出系统的S域系统函数[7]，把整个系统用一个传递函数模块来表示。这样的建模有三部分，输入信号部分、信号源部分和传递函数模块部分还有数据提取来显示的部分；
（3）状态空间的方法：先建立微分方程，再把微分方程转化成状态方程，转化成状态方程以后，它只有四个矩阵，分别是A、B、C、D，然后整个系统就用一个状态空间模块来表示。这个模型中只有三块，输入信号部分、信号源部分、状态空间模块部分和计算的最终结果提取或显示部分。
1.3 Simulink方法分析求解连续系统的特点
用Simulink求解连续系统，解的特点有：
（1）所有的解都是数值解，也就是在给定时间点上的采样值，它得不出解析解的形式来；
（2）数值解都存在误差，一定范围内，采样周期越大，误差就越大；采样周期越小，误差就越小[8]，但随着采样周期增大，采样总步数将急剧增加，这时误差将变大，所以说，采样间隔要适当；
（3）可以画出时域波形，但随时间变化的演化规律并不能从数据里面直接获取；
（4）使用图标编程，对用户来说，求解过程简单。
1.4适用的范围
因为解是数值解，所以适用的范围是线性系统、非线性系统和混合系统都可以进行求解[9]，但是这里有一个问题是系统的所有结构必须要给定，系统里面各个部件的参数值也要给定才能进行求解。系统里面不能含有不定参数，这样微分方程、传递函数、状态空间矩阵才能确定，而且里面的参数，例如，电阻、电容、电感这些元件的值都要给定，才能求数值解，因为解的特点限制了它。
2 Mathematica的TransferFunctionModel分析方法求解连续LTI系统的思路
2.1用Mathematica求解LTI连续系统的方法有两种
（1）传递函数模型方法
先创建传输函数模型函数，
myth=TransferFunctionModel[H[s],s]
给出系统的输入信号求解零状态响应，
yzs[t_]=(OutputResponse[mytf,Cos[100t],t]//Simplify//Expand//TrigReduce//Expand)[[1]]
创建状态空间函数模型，
ss=StateSpaceModel[mytf]
给出系统的初始条件求解零输入响应。
yzi[t_]=(OutputResponse[mytf,{-2,7},t]//Expand)[[1]]
（2）状态空间模型方法
先创建传输函数模型函数，
mytf=TransferFunctionModel[5(s+2)/(s^2+7s+12),s];
再创建状态空间函数模型函数，
ss=StateSpaceModel[mytf]
给出系统的输入信号求解零状态响应，
yzs[t_]=(OutputResponse[ss,Cos[100t],t]//Expand//N)[[1]]
给出系统的初始条件求解零输入响应。
yzi[t_]=(OutputResponse[ss,{-2,7},t]//Expand)[[1]]
2.2用Mathematica的TransferFunctionModel分析方法求解连续LTI系统的思路
用传递函数模型的方法求解连续LTI系统，不需要写出微分方程。先用拉普拉斯变换把时域映射到S域，再把系统S域里面的也就是相域里面的方程写出来。如果是电路问题，把电感、电容都用电阻来表示，把原来的动态电路变成相域里面的电阻电路，再把信号源取拉普拉斯变换。在相域里面列的是代数方程，关注哪个元件的电流、电压，就把相电流、相电压与信号源的关系解出来。例如，在代数方程中，就可以用节点电压法、回路电流法求解，求出来后再除以输入信号的相函数，这样系统函数就求出来了。有了系统函数就有了传递函数，解微分方程式可以调用传递函数解方程的方法，这样就可得到解析解（函数解）[10]。但是这里需要注意的是，这种方法只能解线性系统，非线性系统是不能解的。
2.3 TransferFunctionModel分析方法的特点
用Mathematica的TransferFunctionModel分析方法求解连续LTI系统的出发点是先用拉普拉斯变换把时域映射到S域里面，写出S域里面的方程；优点是可以得到解析函数的表达式，直接得出规律来，并且使用Mathematica的TransferFunctionModel分析方法求解二阶连续LTI系统大大提高了效率，节约了研究人员的时间，减少了人力、物力的使用，省略了繁重的数学计算过程，还可通过图示的方式简单明确的反应问题；难点是对于一阶和二阶系统是很容易求解的，但是对于是高阶系统，它的求解还是非常复杂的，并且它的输出是有错误的，这是因为高阶系统的微分方程中，系数分布范围过广，在后台所对应的一元高次代数方程无解导致的，所以说求解高阶系统还是很难的。
3系统0输入响应计算和0状态响应的计算思路
