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[摘要] 探索连续LTI系统转化为离散LTI系统的有效方法及初值条件转化的有效方法，对LTI离散系统用迭代法求解指定时区上的输入响应和零状态响应，编写LTI连续系统转化为LTI离散系统并用迭代方法求解系统响应的Mathematica程序，以LTI连续系统分析实例展示程序的高效性和可靠性。
[关键词] 离散系统；迭代法；Mathematica程序；数值解
Numerical Solution of discrete LTI system
utility designed
Zhang Dan
(Grade10,Class2,Major Electronic Information Science and Technology School of Physics and Telecommunication Engineering, Shannxi University of Technology,Hanzhong,723000)
Tutor:Long Shuming
Abstract Explore effective method of continuous LTI system into discrete LTI system effective methods and initial conditions for transformation, for LTI discrete systems with iterative method specified input response and zero status area on the response, the preparation of LTI continuous system into LTI discrete system with iterative method for solving the system response Mathematica program to LTI continuous systems analysis examples demonstrate the efficiency and reliability of the program.
Keywords Discrete systems; iterative method;Mathematica program; numerical solution
目录
引言 1
1 连续LTI系统的解析解和数值解 1
1.1求解连续低阶LTI系统解析解的特点 1
1.2求解连续高阶LTI系统解析解存在的问题 2
1.3求解连续LTI系统数值解的特点 3
2 连续LTI系统转化为离散LTI系统的方法 4
3 连续LTI系统转化为LTI离散系统初值条件的方法 5
4 迭代法求解指定时区上的LTI连续系统的编程技巧 5
4.1 求解指定时区上零输入响应的编程技巧 5
4.2 求解指定时区上零状态响应的编程技巧 6
4.3 求解指定时区上全响应的编程技巧 6
5迭代法求解LTI系统的Mathematica程序设计思路…………………..7
6 程序应用实例 8
6.1 用Mathematica软件编程求解连续LTI系统数值解的思路……………8
6.2 用Mathematica软件编程求解连续LTI系统的实例……………………8
7 结语 9
参考文献 9
附录A 9
附录B 10
附录C 10
引言
随着数字技术以及计算机技术的飞速发展，鉴于离散系统在精度、抗干扰能力和可集成化等方面，比连续系统具有更大的优越性，因此原来对连续信号和系统的研究问题，越来越多地转化为对离散信号和系统的处理问题。通信和计算机设备等数字化的高科技产品渗透于人们的生活、学习、工作等诸多方面，这样，对于离散系统的分析、研究和改进成为了必不可少的课题[][1]。
离散系统的响应问题是求解及分析离散系统的基础理论问题，是我们深入分析线性时不变离散系统的基础。离散LTI系统的求解方法有多种，有时域分析法和变换域分析法，其中时域分析法有利用差分方程直接求解和利用用迭代法求解。本课题所研究的是用时域分析法中的迭代法求解离散LTI系统的数值解[][2]。
利用迭代的方法分析不借助任何变换而直接求解，直观且准确。根据差分方程，用迭代的方法可以求解出零输入响应yzi(k)和零状态响应yzs(k)，也可整体求出系统的全响应。迭代法是利用前n-1个时点的的响应值和第n个时点的输入信号响应的值求出第n个时点的系统响应值，这种方法是逐次求解直到求出各点的响应值，方法简单，概念清楚，对于低阶的系统手工操作就可以求解出，但对于高阶系统计算量比较大时，利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，用Mathematica软件编程实现这一过程，则更方便快捷。迭代法不仅可求解线性系统在指定区间上的值，还可求非线性系统在指定区间上的值。
作为理论上的研究，此课题虽然简单，但在实用技术上有广泛的应用，为进一步深入研究奠定基础。例如在通信、计算机、自动化等很多领域都离不开对各类离散系统的分析处理，其中必定涉及高阶系统和非线性系统，对于它们的求解，迭代解法是最有效的分析方法。比如我们在声音的处理过程中，就是经过滤波器，将声音信号转换为离散的差分方程来处理的，再如我们在处理图像时，也是将其转化为离散的差分方程来求解。在未来的“数字化”工业发展进程中，此课题的研究方法将有更加广泛和深入的应用[][3]。
本课题研究的方法是时域分析法中的迭代法，研究的工具软件是Mathematica。
Mathematica是一款科学计算软件，它有强大的数值运算和符号运算，并且能与其他应用程序连接，它的很多功能在科学研究领域中处于世界领先地位，截至2009年，它已是使用最广泛的理工软件之一。Mathematica的发布标志着现代科技计算的开始，Mathematica是世界上通用计算系统中最强大的系统，自从1988发布以来，它已经对如何在科技领域运用计算机技术产生了深刻的、巨大的和广泛的影响。
Mathematica和MATLAB、Maple统称为称为三大数学软件。本课题中用Mathematica软件用迭代的方法进行编程求解系统的数值解。
